O enigma do chapéu do prisioneiro

Terno Pitagórico

fonte: Marlon Tenório (flickr)

Dá-se o nome de terno pitagórico ao conjunto de três números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.

Exemplos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15) ...

Existe, porém, uma relação entre elementos do terno (3, 4, 5) e os elementos dos ternos (6, 8, 10),  (9, 12, 15) que é:

Ora estes três ternos dizem-se da mesma família.
Note-se que ainda poderíamos obter mais ternos desta família multiplicando 3, 4, 5 por outros números naturais.

Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si.
Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...(verifique !)

FÓRMULA DE EUCLIDES

Euclies, num dos três livros de seus Elementos, destinados à Teoria dos Números, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos.
Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos.
Dados dois números naturais m > n, o terno (a,b,c), onde:

a = m^2 – n^2,

b = 2mn,

c = m^2 + n^2,

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si.

Fonte: Teorema de Pitágoras

LITERACIA 3Di - 2019/2020

A LITERACIA 3Di é uma iniciativa da responsabilidade da Porto Editora que consiste num desafio nacional dirigido aos alunos dos 2.º e 3.º ciclos do Ensino Básico de todo o país, envolvendo os respetivos professores e estabelecimentos de ensino, com o propósito de avaliarem as suas competências em quatro dimensões do saber: Matemática, Ciência, Leitura e Inglês


O Campeonato Nacional de LITERACIA 3Di desenrola-se ao longo de todo o ano letivo, com três fases definidas:

a) Primeira Fase – Local
Realiza-se de 18 a 29 de novembro de 2019, nas instalações dos respetivos agrupamentos escolares ou estabelecimentos de ensino não agrupados inscritos.
b) Segunda Fase – Distrital
Realiza-se de 2 a 27 de março de 2020, num local a definir pela Porto
Editora, em cada uma das capitais de distrito/ região autónoma.
c) Terceira Fase – Final Nacional
A final da presente edição realiza-se em maio de 2020, em local a definir.

Fonte: Literacia-3Di

Provas:
Provas modelo - todas as áreas disciplinares
Prova modelo - fase 1 (on-line, versão adaptada)
Prova modelo - fase 2 (on-line, versão adaptada)
Prova modelo - fase 3

Desmos - Calculadora gráfica avançada

Desmos é uma calculadora gráfica avançada gratuita, implementada como uma aplicação Web e uma aplicação móvel (Google Play; App Store), escrita em JavaScript.
Foi criada por Eli Luberoff formado em matemática e física pela Universidade de Yale em 2011.
Podemos usar a desmos em 3 modos:

• Básica
• Científica (Google Play)
• Gráfica (Google Play)    

Fonte: Desmos

Dízima Periódica

 

Fonte: Cartonista solda

Resolvido um enigma com décadas

A pergunta, que remonta a pelo menos 1955 e pode ter sido ponderada pelos pensadores gregos já no século III dC: "Como se pode escrever cada número entre 1 e 100 como a soma de três cubos?".
Algebricamente, como resolve x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 = k, onde k é igual a qualquer número inteiro de 1 a 100?
Esta equação aparentemente simples é conhecida como uma equação diofantina, em homenagem ao antigo matemático Diofhantus de Alexandria, que propôs um conjunto semelhante de problemas há cerca de 1800 anos.
Os matemáticos modernos que recuperaram este quebra-cabeça na década de 1950 e rapidamente encontraram soluções k para quase todos os números menores que 100, excepto o 33 e o 42.

No início de 2019, ainda não eram conhecidas soluções x, y e z para os números k = 33 ou k = 42.

Em abril de 2019, o matemático Andrew Booker, da Universidade de Bristol, na Inglaterra, usou um dos computadores mais inteligentes do mundo para procurar soluções para esta equação diofantina com valores x, y e z que incluíam todos os números entre os 99 quadriliões (um milhão de triliões, ou seja, a unidade seguida de 24 zeros, 10^24) negativos e positivos.
Após várias semanas de computação Booker encontrou a solução para k = 33, ms não encntrou para k = 42, concluindo que se houver alguma solução para k = 42, teria de ter números maiores que 99 quadriliões.

 

(Image credit: Numberphile/ University of Bristol)

Calcular valores tão grandes exige uma capacidade de computação muito superior.
Booker recorreu à ajuda do matemático do Instituto de Tecnologia de Massachusetts (MIT), Andrew Sutherland, que lhe deu acesso a um "supercomputador" composto por mais de 500 000 computadores domésticos (uma rede mundial de computadores chamada Charity Engine).
Após 1 milhão de horas de tempo de processamento deste "supercomputador", Booker e Sutherland finalmente encontraram uma resposta para a equaçãoDdiofantina em que k é igual a 42.

(-80538738812075974) ^ 3 + (80435758145817515) ^ 3 + (12602123297335631) ^ 3 = 42

Fonte: Live Science

Descubra as 8 diferenças entre as duas figuras

Fonte: Savage Chickens

Pequeno Livro de Desmatemática, de Manuel António Pina

E se os números deixassem de ser simples algarismos e se tornassem personagens de histórias divertidas? Nunca deste por ti a pensar na complexidade do pi ou nas angústias que sentirá o zero? E que história é essa de números negativos, irracionais e imaginários?

Atreve-te a ler o Pequeno Livro de Desmatemática e terás a resposta para estas e outras questões!

Plano Nacional de Leitura
Livro recomendado para o 5.° e o 6.° ano de escolaridade.

Fonte: Porto Editora

Batalha Naval

Quem não se lembra de jogar a Batalha Naval, a verdadeira, no papel!!

Para quem gosta dos jogos tradicionais, aqui fica a Batalha Naval à moda antiga.

Divirtam-se e boa sorte!

Fonte: Papel com Arte

Mais na Internet:

Batalha Naval no Papel

Batalha Naval (Wikipédia)

Batalha Naval (Desciclopédia)

Batalha Nalva (uevora.pt) (pdf)

Jogar on-line:
Battleship-game.org (Jogo on-line grátis para 2 jogadores)
Batalha Naval (app)

Play kachi

Numa aventura pela galáxia do fogo, exploras e aplicas o que aprendes na escola em mais de 250 desafios.

Sempre contigo no teu tablet ou smartphone.

A aplicação Play Kachi "consiste na aventura de Kachi e seu amigo Doei que, perdidos na galáxia do fogo, danificam o reator da sua nave tendo de percorrer cinco planetas para conseguirem voltar a casa", explicaram à agência Lusa as responsáveis pelo projeto.


Nos diferentes desafios, em cada planeta, é abordado um tópico do programa de matemática, incluindo matérias como a geometria, a estatística, os números naturais, racionais, as medidas e as operações.http://www.playkachi.com

https://www.jn.pt/nacional/interior/nova-aplicacao-ajuda-alunos-a-aprender-matematica-5145703.html