O enigma do chapéu do prisioneiro

Terno Pitagórico

fonte: Marlon Tenório (flickr)

Dá-se o nome de terno pitagórico ao conjunto de três números naturais que verificam o Teorema de Pitágoras.

Exemplos: (3, 4, 5), (6, 8, 10), (5, 12, 13), (9, 12, 15) ...

Existe, porém, uma relação entre elementos do terno (3, 4, 5) e os elementos dos ternos (6, 8, 10),  (9, 12, 15) que é:

Ora estes três ternos dizem-se da mesma família.
Note-se que ainda poderíamos obter mais ternos desta família multiplicando 3, 4, 5 por outros números naturais.

Um terno pitagórico primitivo é um terno pitagórico em que os três números são primos entre si.
Os primeiros ternos pitagóricos primitivos são (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29)...(verifique !)

FÓRMULA DE EUCLIDES

Euclies, num dos três livros de seus Elementos, destinados à Teoria dos Números, demonstrou que existe uma infinidade de ternos pitagóricos primitivos.
Além disso, encontrou uma fórmula que gera todos os ternos pitagóricos primitivos.
Dados dois números naturais m > n, o terno (a,b,c), onde:

a = m^2 – n^2,

b = 2mn,

c = m^2 + n^2,

é pitagórico, e é primitivo se e só se m e n são primos entre si.

Fonte: Teorema de Pitágoras